Посмотреть ещё
Посмотреть ещё
Отмена
Отмена
Одним из разделов математики является функциональная алгебра, которая изучает аргументы, функции, их взаимосвязь и свойства. На простых примерах разберемся, что это за величины, как определять прямую и обратную пропорции и строить график функции.
В нашей жизни происходят определенные процессы, где можно наблюдать, как величины меняются в зависимости друг от друга.
Так, например, одно и то же расстояние на автомобиле преодолевают быстрее, чем пешком. Стоимость покупки зависит от количества предметов в чеке — чем больше купил, тем больше потратил. Количество годичных колец зависит от возраста дерева — чем оно старше, тем колец больше.
В этих примерах одни значения напрямую зависят от других. Только одни из них независимы — скорость, количество товаров и колец. А вторые меняются — расстояние, стоимость чека, возраст дерева.
Все перечисленные процессы, если перевести их на язык математики, называются взаимосвязью аргумента и функции.
Простой пример аргумента и функции в реальной жизни:
где:
S — расстояние (функция)
V — скорость (аргумент)
t — время
На автомобиле со скоростью 40 км/ч за 30 минут преодолеют 20 км (40 км/ч * 0,5 часа). Пешком со скоростью 6 км/ч за то же время расстояние составит всего 3 км.
Вывод: чем выше скорость (аргумент), тем больше расстояние (функция).
Аргумент и функция взаимозависимы. Другими словами, когда изменяется X, соответственно, меняется Y.
Функциональная зависимость может быть прямо и обратно пропорциональной. Рассмотрим каждую подробнее.
Например, закон теплового расширения:
где:
Vo — начальный объем газа (аргумент)
t — разность начальной и конечной температур
α — коэффициент теплового расширения газов одинаковый для всех газов
Из данного закона следует, что чем выше температура, тем больше объем газа. То есть усматривается прямая зависимость между объемом и температурой. В алгебре это называют прямая пропорциональность.
Пример задачи на прямую пропорцию:
За 10 дней журналист сдает в печать 20 статей. Сколько журналистов должно работать, чтобы написать 60 статей за 10 дней, если они пишут с такой же скоростью?
Решение:
20 (статей) / 10 (дней) * Х (помощников) = 60 (статей) / 10 (дней)
20/10*Х = 60 / 10 Х = (60/10) / (20/10)
Х = 3
Ответ: три человека напишут за 10 дней 60 статей.
Вывод: чем больше людей, тем больше объем выполненной работы.
Для удобства обратную пропорцию можно представить в виде формулы:
где:
Y — зависимое число (функция)
X — независимая переменная (аргумент)
К — постоянная величина, которую именуют коэффициентом обратной пропорциональности
Пример обратной пропорции:
Вывод: чем больше кроликов, тем быстрее закончится корм.
В алгебре и начале анализа зависимость переменной Y от переменной X имеет ряд характеристик:
Формула функции должна соответствовать двум законам:
Нельзя делить на ноль — знаменатели дробей с X не должны быть равны 0
Извлечение корня из отрицательного числа невозможно, поскольку любое число, даже отрицательное, при возведении в квадрат будет положительным
Область значений функции — это множество всех действительных значений Y, которые принимает функция.
В элементарной математике работают и изучают функции только на множестве действительных (вещественных) чисел. Это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической и непериодической десятичной дроби.Пример формулы:
Любое действительное число Y всегда будет в два раза больше, чем X.
Пример табличного задания функции:
| X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Табличный способ считается более удобным, так как все значения уже занесены в таблицу. При построении графика не надо проводить вычислений.
Пример построения графика по формуле:
Поиск значений Y = √X
Поскольку квадратного корня из отрицательных чисел не существует, значение X всегда будет ⩾0
Пример словесного описания:
Каждому целому числу соответствует его квадрат Y = X2
Областью определения будет множество целых чисел, областью значений — множество квадратов натуральных чисел, включая 0.
Заданное значение аргумента, при котором значение функции будет равно нулю.
В алгебре подобные задачи решают с помощью уравнения с одним неизвестным. Для определения значения достаточно вместо Y подставить ноль и решать:
Аргумент и функция — основы функциональной алгебры, понимание которых дает возможность разобраться в предмете. Мы постарались простыми словами и на понятных примерах объяснить, что такое аргумент и как определить функцию, которая зависит от значения аргумента.
18 оценок, среднее 4.93 из 5